Pruefungen/gesoBMP2024/Pruefung.tex

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%% Semesterprüfung BMS
%%

\input{bbwLayoutPruefung}

\renewcommand{\pruefungsThema}{BMP 2023}
\renewcommand{\klasse}{GESO}
\renewcommand{\pruefungsNummer}{2023 A}
\renewcommand{\pruefungsDatum}{}
\renewcommand{\pruefungsVorgabeZeit}{}
\renewcommand{\inPapierform}{}
\renewcommand{\pruefungsHilfsmittel}{Taschenrechner, Formelsammlung}

\begin{document}%%

\renewcommand{\lx}{\mathcal{L}_x}
\pruefungsIntro{}

%% Erster Titel
\section{Funktionen}
\begin{frage}[2]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Von der linearen Funktion $f: y=ax+b$ ist die Steigung 2.4
gegeben. Ebenso ist bekannt, dass die Funktion durch den Punkt
$P=(4|7.3)$ verläuft.

Was ist der $y$-Achsenabschnitt (= Ordinatenabschnitt) dieser Funktion?
\vspace{12mm}

Der $y$-Achsenabschnitt von $f$ beträgt: \LoesungsRaum{-2.3}


\noTRAINER{\mmPapier{8}}%%
\TRAINER{Lernziele: Steigung, Ordinatenabschnitt, Funktionsterm. 0.5
Punkte fürs Einsetzen der Steigung als $a$. 0.5 Punkte fürs Einsetzen
des Punktes in die Funktionsgleichung, 0.5 Punkte fürs Lösen der
Gleichung nach $b$. Volle Punktzahl für die L;Lösung -2.3.}
\end{frage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frage}[3]
L. F. aus W. will Ferien mit einem \textit{Camper} unternehmen.

Dazu stehen momentan die beiden Optionen offen:

\begin{itemize}
\item Variante A: Camper kaufen: Kosten CHF $23\,900.-$ plus Benzinkosten von CHF
$0.07$ pro gefahrenem Kilometer
\item Variante B: Camper mieten: Kosten CHF $2\,999.95$ plus Benzinkosten von CHF
$0.11$ pro gefahrenem Kilometer plus CHF $9.90$ für Versicherungen,
Abschreibung, Reinigung, Wartung pro gefahrene 50 km
\end{itemize}

a) Geben Sie die Kostenfunktion $f$ an, welche die Totalkosten für
Variante A (Camper kaufen) in CHF (= abhängige Variable $y$) pro
gefahrenem Kilometer (= unabhängige Variable $x$) angibt:

\vspace{5mm}
$$f: y = \LoesungsRaumLang{0.07 x + 23\,900}$$
\noTRAINER{\mmPapier{1.6}}\TRAINER{0.5 Pkt. pro korrekte Kostenfunktion}

b) Geben Sie die Kostenfunktion $g$ an, welche die Totalkosten für
Variante B (Camper mieten) in CHF (= abhängige Variable $y$) pro
gefahrenem Kilometer (= unabhängige Variable $x$) angibt:

\vspace{5mm}
$$g: y = \LoesungsRaumLang{0.308x + 2\,999.95}$$
\noTRAINER{\mmPapier{2.4}}

c) Ab welcher Strecke lohnt sich der Kauf (Variante A)?

\noTRAINER{\vspace{7mm}}\TRAINER{1 Pkt für die Gleichung der beiden
Funktionsterme oder analoge Gleichung. 1 Pkt fürs korrekte Lösen.}

Die Variante A lohnt sich ab \LoesungsRaum{$87\,815$} km. (Runden Sie
auf ganze km.)

\noTRAINER{\mmPapier{7.6}}

\end{frage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Die Potenzfunktion $y=a\cdot{}x^n$ geht durch die beiden Punkte
$P=(2|96)$ und $Q=\left(\frac13 \middle| \frac2{27}\right)$

Berechnen Sie die Parameter $a$ und $n$ und geben Sie die
Funktionsgleichung an:

$$y=\LoesungsRaumLang{6\cdot{}x^4}$$

\noTRAINER{\mmPapier{4.4}}%%

\TRAINER{1 Punkt für das Einsetzen der Punkte:

I: $96 = a \cdot{} 2^n$

II: $\frac{2}{27} = a \cdot{} \left( \frac13 \right)^n$

Ein halber Punkt für das Separieren einer Variable \zB:
$$a = \frac{96}{2^n}$$
Ein ganzer Punkt fürs Berechnen eines der beiden Parameter:
$$\frac2{27} = \frac{96}{2^n} \cdot{} \frac1{3^n} = \frac{96}{6^n}$$
$$\Longrightarrow$$
$$\frac{48}{27} = 6^n \Longrightarrow n = \log_{6}(\frac{48}{27}) = 4$$
0.5 Punkte für die 2. Variable
$$a = \frac{96}{2^4} = 6$$
}%% end TRAINER
\end{frage}%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frage}[4]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
In einem trüben See nimmt die Lichtintensität pro Meter um 37\% ab.

Ein anfänglich mit 100\% leuchtendes LASER-Licht leuchtet in diesen
See.

a) Geben Sie den Abnahmefaktor der Lichtintensität an:
\vspace{6mm}
Der Abnahmefaktor beträgt \LoesungsRaum{0.63}.

\noTRAINER{\mmPapier{2}}
%%\mmPapier{2.4}%%

\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe a}

b) Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung $y = f(x)$ an, welche den
exponentiellen Zerfall der Lichtintensität beschreibt. Dabei ist $x$ die
Distanz in Metern und $y$ die Intensität in \%.

\vspace{12mm}
Eine mögliche Zerfallsfunktion wäre $f: y= \LoesungsRaumLang{100\%\cdot{}0.63^x}$.

\noTRAINER{\mmPapier{2.4}}
%%\mmPapier{2.4}%%
\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe b}


c) Wie groß ist die Lichtintensität in 4 m Entfernung unter Wasser?
\vspace{12mm}
Die Intensität beträgt noch \LoesungsRaum{15.75\%}. (Angabe in \% auf
mind. zwei Dezimalen.)

\noTRAINER{\mmPapier{3.2}}%%
\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe c}

d) In wie vielen Metern unter Wasser ist die ursprüngliche Intensität
auf 1\% abgefallen?
\vspace{12mm}
In \LoesungsRaum{9.967} m ist die Intensität noch 1\% von den
anfänglichen 100\%. (Angabe in Metern auf mind. 3 Dezimalen.)


\noTRAINER{\mmPapier{4.4}}%%
\TRAINER{Ein Punkt für die Gleichung (oder eine analoge Gleichung):
$$0.01= 0.63^x$$
Zweiter Punkt fürs Lösen der Gleichung und die Angabe als Dezimalzahl.
$$x = \log_{0.63}(0.01) = \frac{\lg(0.01)}{\lg(0.63)}\approx 9.967$$
}%%
\end{frage}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frage}[2]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Es gibt Gummibärchen in den fünf Farben blau, grün, gelb, orange und
rot. Als Glücksbringer erhalten 17 Teilnehmende einer GESO-Klasse je
ein Gummibärchen einer zufälligen Farbe. Auf wie viele Arten ist dies
möglich? (GESO = Ausrichtung Gesundheit und Soziales)


\vspace{15mm}

Es gibt insgesamt \LoesungsRaum{$7.62\cdot{}10^{11} $  = 762
Milliarden = $762\cdot{}10^9$} Variationen, fünf Farben
auf die siebzehn Teilnehmenden zu verteilen.

\noTRAINER{\mmPapier{8}}%%

\TRAINER{Ein Punkt für die richtige Formel ($n^k$) und einen Punkt für
die Interpretation der großen Zahl (entweder in wissenschaftlicher, in
ingenieurmäßigen Darstellung oder in Worten.}%%
\end{frage} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Brenda Brillant hat 20 Fingerringe.

a) Angenommen sie trägt an beiden
Ringfingern je einen dieser 20 Fingerringe. Auf wie viele Arten ist
dies möglich, wenn der linke und der rechte Ringfinger unterschieden
werden? Es soll also eine andere Variante sein, wenn Sie die
beiden Ringe vertauscht.

\vspace{12mm}


So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$20\cdot{}19 = 380$} Arten ihre Ringe tragen.

\noTRAINER{\mmPapier{6}}
\TRAINER{0.5 Punkte für eine der Zahlen 20 oder 19. Voller Punkt für
das Resultat 380}%%


b) Brenda zieht nun acht Ringe an (die Daumen lässt sie frei).
Auf wie viele Arten kann Brenda die acht Ringe der 20 Ringe auswählen,
wenn die Reihenfolge an den Fingern keine Rolle spielt?


\vspace{12mm}


So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$\frac{20!}{12!8!} = 125\,970$} Arten ihre Ringe tragen.

\noTRAINER{\mmPapier{8}}
\TRAINER{Einen Punkt für die korrekte Formel (nCr oder mit
Fakultät). Zweiten Punkt für die korrekte Lösung.}%%



\end{frage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Robin hat 20 Farbstifte. Alle sind stumpf und müssen gespitzt werden.
Robin nimmt drei davon, spitzt diese und legt sie zurück.

Wenn Robin nun aufs Geratewohl zufällig wieder drei Farbstifte nimmt,
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ...

a) ...dass genau zwei davon bereits gespitzt sind?

\vspace{12mm}
Diese Wahrscheinlichkeit
beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{17}{380} \approx 4.47\%$}. (Angabe exakt
oder in \% auf mind. zwei Nachkommastellen.)


\noTRAINER{\mmPapier{6}}%%
\TRAINER{Lotto Wahrscheinlichkeit. 1Pkt für die korrekte Formel. 1Pkt
für die korrekte Lösung.

$$P(\text{genau 2}) = \frac{{ 3 \choose 2 }\cdot{}{ 17 \choose 1 }}{
{20 \choose 3} } = \frac{17}{380} \approx 4.47 \% $$}


b) ... dass mindestens einer davon bereits gespitzt ist?

\vspace{12mm}
Diese Wahrscheinlichkeit
beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{23}{57}\approx 40.351\%$}. (Angabe
exakt oder in \%
auf mind drei Nachkommastellen.)





\noTRAINER{\mmPapier{6}}%%
\TRAINER{Am einfachsten mit der Gegenwahrscheinlichkeit. 1 Punkt für
die Formel, ein Punkt für Die Lösung. Alternativ ein Punkt für die
Idee «Gegenwahrscheinlichkeit», falls Formel und/oder Lösung falsch.

$$P(\text{genau 0}) = \frac{{ 3 \choose 0 } \cdot{} { 17 \choose 0 }}{{20 \choose 3} } = \frac{35}{57} \Longrightarrow$$

$$P(\text{mind. 1}) = 1 - P(\text{keiner}) = 1 - \frac{34}{57}
= \frac{23}{57} \approx 40.351\%$$


}

\TRAINER{}%%
\end{frage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\TRAINER{\subsection{Anwendungen der Bernoulli-Formel}}
\noTRAINER{\subsection{Anwendungen}}

\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Ein BMS-Semester von Lou besteht aus 22 Schultagen. An sechs Tagen davon finden
Semesterprüfungen in Mathematik statt. Die Wahrscheinlichkeit, dass
ein BMS-Tag gleichzeitig ein Mathematik-Prüfungstag ist ist demnach

\vspace{12mm}

$p=\LoesungsRaum{\frac{6}{22}}$.


Lou hat in diesem Semester an vier Tagen gefehlt.

Angenommen das Fehlen von Lou hat nichts mit den
Mathematik-Semesterprüfungen zu tun und ist rein zufällig, sowie auch
das Auftreten der Mathematik-Prüfungen zufällig über das Semester
verteilt ist. Wie klein
ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lou genau drei seiner vier
Fehltage im Semester an einer Mathematik-Semesterprüfung fehlt.

\vspace{22mm}

Diese Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$  beträgt \LoesungsRaumLang{5.901}\% (Angabe
in \% auf mind. 4 Dezimalen).

\noTRAINER{\mmPapier{8}}%%
\TRAINER{
$$P(X=3) = {4\choose
3} \cdot{} \left(\frac{6}{22}\right)^{3} \cdot{} \left(1-\frac{6}{22} \right)^{4-3} \approx 5.901\%$$

Ein halber Punkt für $p=6/22$
Ein halber für 3 aus 4.
Ein  Punkt fürs Aufstellen der Bernoulli-Formel oder fürs
korrekte Eintippen der drei Zahlen in den TR.
Ein halber Punkt für die Lösung als Faktor.
Der letzte halbe Punkt fürs korrekte Darstellen der Lösung in \%.

Falls die Wahrscheinlichkeit in Teilaufgabe 1 falsch berechnet wurde,
gibt es dennoch die Folgepunkte, falls mit dem falschen Resultat auf
korrekte Weise weitergerechnet wurde.
}%%
\end{frage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Felix Feldmann übt den Torschuss. In einer Serie von 45 Schuss will er
seine Trefferwahrscheinlichkeit berechnen.

a) Wie viele Trefferwahrscheinlichkeiten sind mit seiner Methode der 45
Schuss denkbar?


$$\text{Es gibt } \LoesungsRaumLang{46} \text{ mögliche Trefferwahrscheinlichkeiten.}$$
\noTRAINER{\mmPapier{2.8}}%%

\TRAINER{1 Punkt für die Lösung, keine Teilpunkte für 45 o.ä.}

Felix Feldmann hat seine Trefferwahrscheinlichkeit auf $\frac{33}{45}
= \frac{11}{15}$ ermittelt. Angenommen, seine ermittelte
Wahrscheinlichkeit sei genau: Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit,
dass er bei einem Durchgang von 10 Schüssen zwischen drei und sechs
Toren schießt?

(Angabe in \% auf mind 2 Dezimalen)

$$\text{Er trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von } \LoesungsRaum{9.39} \%
\text{ zwischen drei und sechs Toren.}$$

\noTRAINER{\mmPapier{6}}
\TRAINER{Binomialpdf von 4 + 5 Toren: $2.18\% + 7.21\% \approx
9.39\%$}
\TRAINER{1 Punkt für die Bernoulli-Formel. 0.5 Punkt für die korrekte
Wahrscheinlichkeit von 4 bzw. 5 Toren. 0.5 Pkt für die Summe der
beiden Wahrscheinlichkeiten.}
\TRAINER{0.5 Punkt Abzug falls 3-6 Tore und nicht 4-5 Tore berechnet wurden.$7.66 +
9.39\approx 17.1\%$}
\end{frage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Nur 2\% der Babys überleben die Entbindung nicht. Ebenso kommen 85\%
aller Babys ohne Kaiserschnitt zur Welt. Die Überlebenschancen beim
Kaiserschnitt liegen bei 97\%.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Baby, das nicht per
Kaiserschnitt zur Welt kommt, die Geburt überlebt?

(Tipp: Vierfeldtafel oder Wahrscheinlichkeitsbaum;  bedingte Wahrscheinlichkeit)

\vspace{15mm}

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \LoesungsRaum{} (Geben Sie das Resultat
in \% und auf mind. 2 Dezimalen genau an.)

%%$$\lx=\LoesungsRaum{98.05\%}$$

\noTRAINER{\mmPapier{8}}%%
\TRAINER{1 Pkt für die Kontingenztafel mit den gegebenen Werten
ausgefüllt inkl. 98+2 = 100 und 95+5 =100;

Weiterer Punkt für die Vervollständigung der Kontingenztafel.

\begin{tabular}{c|c|c|c}
            & Kaiserschnitt & Normal   & Total \\\hline
Verstorben   & 0.15\%        &  1.85\%  & 2\%   \\\hline
Überlebend  & 4.85\%        &  93.15\% & 98\%  \\\hline
Total       & 5\%           &  95\%    & 100\% \\
\end{tabular}
 

(Analog zwei Punkte, falls mit Baum gelöst)

3. Punkt für die korrekte Berechnung $\frac{93.15}{95.00}\approx 98.05$
}%%
\end{frage}
\newpage

\subsubsection{Bonusaufgabe Wahrscheinlichkeit}%%
%%
\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Das folgende Wegstück wurde in der Nacht vom Sturm arg beschädigt:

\bbwCenterGraphic{14cm}{img/Bruecken.png}

Jede der drei Brücken ist nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von
80\% intakt. Mit 20\% Wahrscheinlichkeit kann jede der drei Brücken
nicht passiert werden.

Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass ich nach dem
beschriebenen Sturm auf den angegebenen Wegen von A nach B gelangen
kann?

\vspace{10mm}
Die Wahrscheinlichkeit von A nach B zu gelangen ist \LoesungsRaum{92.8} \% (Lösung exakt angeben).

\platzFuerBerechnungen{9.6}%%
\TRAINER{Möglichkeit: Dreistufiger Baum mit jeder Brücke. Einen Punkt
für den dreistufigen Baum, Einen Punkt für die korrekten
Wahrscheinlichkeiten jeder Möglichkeit. Dritter Punkt fürs addieren
der korrekten Blätter.
3 Punkte auch für eine analoge Lösung ohne Wahrscheinlichkeitsbaum. }%%
\end{frage} 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Summenzeichen}
\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Gegeben sind die beiden folgenden Terme:

$$T_1(n) := \frac16n(n+1)(2n+1)$$
$$T_2(n) := \sum_{i=1}^{n} i^2$$

Zeigen Sie, dass die beiden Terme für $n=6$ identisch sind:

$$T_1(6) = T_2(6)$$

Berechnen Sie dazu zuerst das Produkt $T_1(6)$ auf der linken Seite:

$$T_1(6) = \LoesungsRaum{7\cdot{}13=91}$$\
\noTRAINER{\mmPapier{2}}

Berechnen Sie nun die Summe $T_2(6)$ auf der rechten Seite.

Geben Sie dazu explizit alle Summanden der Summe an:
$$\sum_{i=1}^6i^2=\LoesungsRaumLang{1+4+9+25+36}$$

\noTRAINER{\mmPapier{2.4}}

Berechnen Sie diese Summe: $T_2(6) = \LoesungsRaum{91}$

Zeigen Sie an einem anderen Zahlenbeispiel $n > 3$ ($n\in\mathbb{N}$), dass die
Identitätsgleichung ($T_1(n) = T_2(n)$) wahr ist:

\TNT{1.2}{$T_1(4) = 1+4 + 9 + 16 = 30 = \frac16\cdot{}4\cdot{}(5)(9)$}

\vspace{5mm}%%
%%
\noTRAINER{\mmPapier{4.4}}%%
\end{frage}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}%