Pruefungen/gesoBMP2024/Pruefung.tex

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%% Semesterprüfung BMS
%%

\input{bbwLayoutPruefung}

\renewcommand{\pruefungsThema}{BMP 2023}
\renewcommand{\klasse}{GESO}
\renewcommand{\pruefungsNummer}{}
\renewcommand{\pruefungsDatum}{}
\renewcommand{\pruefungsVorgabeZeit}{}
\renewcommand{\inPapierform}{}
\renewcommand{\pruefungsHilfsmittel}{Taschenrechner, Formelsammlung}

\begin{document}%%
\pruefungsIntro{}

%% Erster Titel
\section{Funktionen}
\begin{frage}[1]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Von der linearen Funktion $f: y=ax+b$ ist die Steigung 2.4
gegeben. Ebenso ist bekannt, dass die Funktion duch den Punkt
$P=(4|7.3)$ verläuft.

Was ist der $y$-Achsenabschnitt dieser Funktion?
\vspace{12mm}

Der $y$-Achsenabschnitt von $f$ beträgt: \LoesungsRaum{-2.3}


\platzFuerBerechnungen{8}%%
\end{frage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Die Potenzfunktion $y=a\cdot{}x^n$ geht durch die beiden Punkte
$P=(2|96)$ und $Q=\left(\frac13 \middle| \frac2{27}\right)$

Berechnen Sie die Parameter $a$ und $n$ und geben Sie die
Funktionsgleichung an:

$$y=\LoesungsRaumLang{6\cdot{}x^4}$$
\platzFuerBerechnungen{4.4}%%
\TRAINER{1 Punkt für das Einsetzen der Punkte:

I: $96 = a \cdot{} 2^n$

II: $\frac{2}{27} = a \cdot{} \left( \frac13 \right)^n$

Ein halber Punkt für das Separieren einer Variable \zB:
$$a = \frac{96}{2^n}$$
Ein ganzer Punkt fürs Berechnen eines der beiden Parameter:
$$\frac2{27} = \frac{96}{2^n} \cdot{} \frac1{3^n} = \frac{96}{6^n}$$
$$\Longrightarrow$$
$$\frac{48}{27} = 6^n \Longrightarrow n = \log_{6}(\frac{48}{27}) = 4$$
0.5 Punkte für die 2. Variable
$$a = \frac{96}{2^4} = 6$$
}%% end TRAINER
\end{frage}%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frage}[4]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
In einem trüben See nimmt die Lichtintensität pro Meter um 37\% ab.

Ein anfänglich mit 100\% leuchtendes LASER-Licht leuchtet in diesen
See.

a) Geben Sie den Abnahmefaktor der Lichtintensität an:
\vspace{12mm}
Der Abnahmefaktor beträgt \LoesungsRaum{0.63}.

\platzFuerBerechnungen{2.4}%%
\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe a}



b) Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung $y = f(x)$ an, welche den
exponentiellen Zerfall der Lichtintensität beschreibt. Dabei ist x die
Distanz in Metern und y die Intensität in \%.

\vspace{12mm}
Eine mögiche Zerfallsfunktion wäre $f: y= \LoesungsRaumLang{100\%\cdot{}0.63^x}$.

\platzFuerBerechnungen{2.4}%%
\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe b}


c) Wie groß ist die Lichtintensität in 4 m Entfernung unter Wasser?
\vspace{12mm}
Die Intensität beträgt noch \LoesungsRaum{15.75\%}. (Angabe in \% auf
mind. zwei Dezimalen.

\platzFuerBerechnungen{3.2}%%
\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe c}

d) In wie vielen Metern unter Wasser ist die ursprüngliche Intensität
auf 1\% abgefallen?
\vspace{12mm}
In \LoesungsRaum{9.967} m ist die Intensität noch 1\% von den
anfänglichen 100\%. (Angabe in Metern auf mind. 3 Dezimalen.)


\platzFuerBerechnungen{4.4}%%
\TRAINER{Ein Punkt für die Gleichung (oder eine analoge Gleichung):
$$0.01= 0.63^x$$
Zweiter Punkt fürs Lösen der Gleichng und die Angabe als Dezimalzahl.
$$x = \log_{0.63}(0.01) = \frac{\lg(0.01)}{\lg(0.63)}\approx 9.967$$
}%%
\end{frage}



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\section{Wahrscheinlichkeitsrechung}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Brenda Brillant hat 20 Fingerringe.

a) Angenommen sie trägt an beiden
Ringfingern je einen dieser 20 Fingerringe. Auf wie viele Arten ist
dies möglich, wenn der linke und der rechte Ringfinger unterschieden
werden?

\vspace{12mm}


So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$20\cdot{}19 = 380$} Arten ihre Ringe tragen.

\platzFuerBerechnungen{4}
\TRAINER{0.5 Punkte für eine der Zahlen 20 oder 19. Voller Punkt für
das Resulat 380}%%


b) Brenda zieht nun acht Ringe an (die Daumen läßt sie frei).
Auf wie viele Arten kann Brenda die acht Ringe der 20 Ringe auswählen,
wenn die Reihenfolge an den Fingern keine Rolle spielt?


\vspace{12mm}


So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$\frac{20!}{12!8!} = 125\,970$} Arten ihre Ringe tragen.

\platzFuerBerechnungen{8}
\TRAINER{Einen Punkt für die korrekte Formel (nCr oder mit
Fakultät). Zweiten Punkt für die korrekte Lösung.}%%



\end{frage}


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\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Robin hat 20 Farbstifte. Alle sind stumpf und müssen gespitzt werden.
Robin nimmt drei davon, spitzt diese und legt sie zurück.

Wenn Robin nun aufs geratewohl zufällig wieder drei Farbstifte nimmt,
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ...

a) ...dass genau zwei davon breits gespitzt sind?

\vspace{12mm}
Diese Wahrscheinlichkeit
beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{17}{380} \approx 4.47\%$}. (Angabe exakt
oder in \% auf mind. zwei Nachkommastellen.)


\platzFuerBerechnungen{6}%%
\TRAINER{Lotto Wahrscheinlichkeit. 1Pkt für die korrekte Formel. 1Pkt
für die korrekte Lösung.

$$P(\text{genau 2}) = \frac{{ 3 \choose 2 }\cdot{}{ 17 \choose 1 }}{
{20 \choose 3} } = \frac{17}{380} \approx 4.47 \% $$}


b) ... dass mindestens einer davon bereits gespitzt ist?

\vspace{12mm}
Diese Wahrscheinlichkeit
beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{23}{57}\approx 40.351\%$}. (Angabe
exakt oder in \%
auf mind drei Nachkommastellen.)





\platzFuerBerechnungen{6}%%
\TRAINER{Am einfachsten mit der Gegenwahrscheinlichkeit. 1 Punkt für
die Formel, ein Punkt für Die Lösung. Alternativ ein Punkt für die
Idee «Gegenwahrscheinlichkeit», falls Formel und/oder Lösung falsch.

$$P(\text{genau 0}) = \frac{{ 3 \choose 0 } \cdot{} { 17 \choose 0 }}{{20 \choose 3} } = \frac{35}{57} \Longrightarrow$$

$$P(\text{mind. 1}) = 1 - P(\text{keiner}) = 1 - \frac{34}{57}
= \frac{23}{57} \approx 40.351\%$$


}

\TRAINER{}%%
\end{frage}
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\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Ein BMS-Semester von Lou besteht aus 22 Schultagen. An sechs Tagen davon finden
Semesterprüfungen in Mathematik statt. Die Wahrscheinlichkeit, dass
ein BMS-Tag gleichzeitig ein Mathematik-Prüfungstag ist ist demnach

\vspace{12mm}

$p=\LoesungsRaum{\frac{6}{22}}$.


Lou hat in diesem Semester an vier Tagen gefehlt.

Angenommen das Fehlen von Lou hat nichts mit den
Mathematik-Semesterprüfungen zu tun und ist rein zufällig, sowie auch
das Auftreten der Mathematik-Prüfungen zufällig über das Semester
verteilt ist. Wie klein
ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lou genau drei seiner vier
Fehltage im Semester an einer Mathematik-Semesterprüfung fehlt.

\vspace{22mm}

Diese Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$  beträgt \LoesungsRaumLang{5.901}\% (Angabe
in \% auf mind. 4 Dezimalen).
\platzFuerBerechnungen{8}%%
\TRAINER{
$$P(X=3) = {4\choose
3} \cdot{} \left(\frac{6}{22}\right)^{3} \cdot{} \left(1-\frac{6}{22} \right)^{4-3} \approx 5.901\%$$

Ein halber Punkt für $p=6/22$
Ein halber für 3 aus 4.
Ein  Punkt fürs Aufstellen der Bernoulli-Formel oder fürs
korrekte Eintippen der drei Zahlen in den TR.
Ein halber Punkt für die Lösung als Faktor.
Der letzte halbe Punkt fürs korrekte Darstellen der Lösung in \%.
}%%
\end{frage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}%