\begin{frage}[2]%% Punkte
  In einem Biotop werden 270 Ratten ausgesetzt. Nach einem Monat werden noch 220 Ratten gezählt. Es wird ein beschränkter exponentieller Prozess beobachtet.
  
  Nach langer Zeit hat sich dann die Rattenpopulation bei 70 Stück stabilisiert. Offensichtlich waren anfänglich entweder zu viele Räuber oder es war zu wenig Nahrung da.

  a) Geben Sie eine Funktionsgleichung an, welche den Rattenbestand in Abhängigkeit der Anzahl Monate angibt $f(t)$ = Anzahl Ratten.

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  $$f(t) = \LoesungsRaumLen{40mm}{70 + 200\cdot{}\left(\frac{150}{200}\right)^t }$$

  \vspace{3mm}

  b) Geben Sie einen exakten Term an, der angibt, nach wie vielen Monaten ($T_{100}$) es nach obigem Modell noch total 100 Ratten im Biotop hatte.
  \vspace{3mm}
  
$$T_{100}=\LoesungsRaumLen{30mm}{\log_{\frac34}\left(\frac3{20}\right)}$$

\platzFuerBerechnungen{16}%%
\end{frage}%%
