%% %% Semesterprüfung BMS %% \input{bbwLayoutPruefung} \renewcommand{\pruefungsThema}{BMP 2023} \renewcommand{\klasse}{GESO} \renewcommand{\pruefungsNummer}{2023 A} \renewcommand{\pruefungsDatum}{} \renewcommand{\pruefungsVorgabeZeit}{} \renewcommand{\inPapierform}{} \renewcommand{\pruefungsHilfsmittel}{Taschenrechner, Formelsammlung} \begin{document}%% \renewcommand{\lx}{\mathcal{L}_x} \pruefungsIntro{} %% Erster Titel \section{Funktionen} \begin{frage}[2]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe Von der linearen Funktion $f: y=ax+b$ ist die Steigung 2.4 gegeben. Ebenso ist bekannt, dass die Funktion durch den Punkt $P=(4|7.3)$ verläuft. Was ist der $y$-Achsenabschnitt (= Ordinatenabschnitt) dieser Funktion? \vspace{12mm} Der $y$-Achsenabschnitt von $f$ beträgt: \LoesungsRaum{-2.3} \noTRAINER{\mmPapier{8}}%% \TRAINER{Lernziele: Steigung, Ordinatenabschnitt, Funktionsterm. 0.5 Punkte fürs Einsetzen der Steigung als $a$. 0.5 Punkte fürs Einsetzen des Punktes in die Funktionsgleichung, 0.5 Punkte fürs Lösen der Gleichung nach $b$. Volle Punktzahl für die L;Lösung -2.3.} \end{frage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frage}[3] L. F. aus W. will Ferien mit einem \textit{Camper} unternehmen. Dazu stehen momentan die beiden Optionen offen: \begin{itemize} \item Variante A: Camper kaufen: Kosten CHF $23\,900.-$ plus Benzinkosten von CHF $0.07$ pro gefahrenem Kilometer \item Variante B: Camper mieten: Kosten CHF $2\,999.95$ plus Benzinkosten von CHF $0.11$ pro gefahrenem Kilometer plus CHF $9.90$ für Versicherungen, Abschreibung, Reinigung, Wartung pro gefahrene 50 km \end{itemize} a) Geben Sie die Kostenfunktion $f$ an, welche die Totalkosten für Variante A (Camper kaufen) in CHF (= abhängige Variable $y$) pro gefahrenem Kilometer (= unabhängige Variable $x$) angibt: \vspace{5mm} $$f: y = \LoesungsRaumLang{0.07 x + 23\,900}$$ \noTRAINER{\mmPapier{1.6}}\TRAINER{0.5 Pkt. pro korrekte Kostenfunktion} b) Geben Sie die Kostenfunktion $g$ an, welche die Totalkosten für Variante B (Camper mieten) in CHF (= abhängige Variable $y$) pro gefahrenem Kilometer (= unabhängige Variable $x$) angibt: \vspace{5mm} $$g: y = \LoesungsRaumLang{0.308x + 2\,999.95}$$ \noTRAINER{\mmPapier{2.4}} c) Ab welcher Strecke lohnt sich der Kauf (Variante A)? \noTRAINER{\vspace{7mm}}\TRAINER{1 Pkt für die Gleichung der beiden Funktionsterme oder analoge Gleichung. 1 Pkt fürs korrekte Lösen.} Die Variante A lohnt sich ab \LoesungsRaum{$87\,815$} km. (Runden Sie auf ganze km.) \noTRAINER{\mmPapier{7.6}} \end{frage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe Die Potenzfunktion $y=a\cdot{}x^n$ geht durch die beiden Punkte $P=(2|96)$ und $Q=\left(\frac13 \middle| \frac2{27}\right)$ Berechnen Sie die Parameter $a$ und $n$ und geben Sie die Funktionsgleichung an: $$y=\LoesungsRaumLang{6\cdot{}x^4}$$ \noTRAINER{\mmPapier{4.4}}%% \TRAINER{1 Punkt für das Einsetzen der Punkte: I: $96 = a \cdot{} 2^n$ II: $\frac{2}{27} = a \cdot{} \left( \frac13 \right)^n$ Ein halber Punkt für das Separieren einer Variable \zB: $$a = \frac{96}{2^n}$$ Ein ganzer Punkt fürs Berechnen eines der beiden Parameter: $$\frac2{27} = \frac{96}{2^n} \cdot{} \frac1{3^n} = \frac{96}{6^n}$$ $$\Longrightarrow$$ $$\frac{48}{27} = 6^n \Longrightarrow n = \log_{6}(\frac{48}{27}) = 4$$ 0.5 Punkte für die 2. Variable $$a = \frac{96}{2^4} = 6$$ }%% end TRAINER \end{frage}%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frage}[4]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe In einem trüben See nimmt die Lichtintensität pro Meter um 37\% ab. Ein anfänglich mit 100\% leuchtendes LASER-Licht leuchtet in diesen See. a) Geben Sie den Abnahmefaktor der Lichtintensität an: \vspace{6mm} Der Abnahmefaktor beträgt \LoesungsRaum{0.63}. \noTRAINER{\mmPapier{2}} %%\mmPapier{2.4}%% \TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe a} b) Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung $y = f(x)$ an, welche den exponentiellen Zerfall der Lichtintensität beschreibt. Dabei ist $x$ die Distanz in Metern und $y$ die Intensität in \%. \vspace{12mm} Eine mögliche Zerfallsfunktion wäre $f: y= \LoesungsRaumLang{100\%\cdot{}0.63^x}$. \noTRAINER{\mmPapier{2.4}} %%\mmPapier{2.4}%% \TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe b} c) Wie groß ist die Lichtintensität in 4 m Entfernung unter Wasser? \vspace{12mm} Die Intensität beträgt noch \LoesungsRaum{15.75\%}. (Angabe in \% auf mind. zwei Dezimalen.) \noTRAINER{\mmPapier{3.2}}%% \TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe c} d) In wie vielen Metern unter Wasser ist die ursprüngliche Intensität auf 1\% abgefallen? \vspace{12mm} In \LoesungsRaum{9.967} m ist die Intensität noch 1\% von den anfänglichen 100\%. (Angabe in Metern auf mind. 3 Dezimalen.) \noTRAINER{\mmPapier{4.4}}%% \TRAINER{Ein Punkt für die Gleichung (oder eine analoge Gleichung): $$0.01= 0.63^x$$ Zweiter Punkt fürs Lösen der Gleichung und die Angabe als Dezimalzahl. $$x = \log_{0.63}(0.01) = \frac{\lg(0.01)}{\lg(0.63)}\approx 9.967$$ }%% \end{frage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frage}[2]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe Es gibt Gummibärchen in den fünf Farben blau, grün, gelb, orange und rot. Als Glücksbringer erhalten 17 Teilnehmende einer GESO-Klasse je ein Gummibärchen einer zufälligen Farbe. Auf wie viele Arten ist dies möglich? (GESO = Ausrichtung Gesundheit und Soziales) \vspace{15mm} Es gibt insgesamt \LoesungsRaum{$7.62\cdot{}10^{11} $ = 762 Milliarden = $762\cdot{}10^9$} Variationen, fünf Farben auf die siebzehn Teilnehmenden zu verteilen. \noTRAINER{\mmPapier{8}}%% \TRAINER{Ein Punkt für die richtige Formel ($n^k$) und einen Punkt für die Interpretation der großen Zahl (entweder in wissenschaftlicher, in ingenieurmäßigen Darstellung oder in Worten.}%% \end{frage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe Brenda Brillant hat 20 Fingerringe. a) Angenommen sie trägt an beiden Ringfingern je einen dieser 20 Fingerringe. Auf wie viele Arten ist dies möglich, wenn der linke und der rechte Ringfinger unterschieden werden? Es soll also eine andere Variante sein, wenn Sie die beiden Ringe vertauscht. \vspace{12mm} So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$20\cdot{}19 = 380$} Arten ihre Ringe tragen. \noTRAINER{\mmPapier{6}} \TRAINER{0.5 Punkte für eine der Zahlen 20 oder 19. Voller Punkt für das Resultat 380}%% b) Brenda zieht nun acht Ringe an (die Daumen lässt sie frei). Auf wie viele Arten kann Brenda die acht Ringe der 20 Ringe auswählen, wenn die Reihenfolge an den Fingern keine Rolle spielt? \vspace{12mm} So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$\frac{20!}{12!8!} = 125\,970$} Arten ihre Ringe tragen. \noTRAINER{\mmPapier{8}} \TRAINER{Einen Punkt für die korrekte Formel (nCr oder mit Fakultät). Zweiten Punkt für die korrekte Lösung.}%% \end{frage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe Robin hat 20 Farbstifte. Alle sind stumpf und müssen gespitzt werden. Robin nimmt drei davon, spitzt diese und legt sie zurück. Wenn Robin nun aufs Geratewohl zufällig wieder drei Farbstifte nimmt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ... a) ...dass genau zwei davon bereits gespitzt sind? \vspace{12mm} Diese Wahrscheinlichkeit beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{17}{380} \approx 4.47\%$}. (Angabe exakt oder in \% auf mind. zwei Nachkommastellen.) \noTRAINER{\mmPapier{6}}%% \TRAINER{Lotto Wahrscheinlichkeit. 1Pkt für die korrekte Formel. 1Pkt für die korrekte Lösung. $$P(\text{genau 2}) = \frac{{ 3 \choose 2 }\cdot{}{ 17 \choose 1 }}{ {20 \choose 3} } = \frac{17}{380} \approx 4.47 \% $$} b) ... dass mindestens einer davon bereits gespitzt ist? \vspace{12mm} Diese Wahrscheinlichkeit beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{23}{57}\approx 40.351\%$}. (Angabe exakt oder in \% auf mind drei Nachkommastellen.) \noTRAINER{\mmPapier{6}}%% \TRAINER{Am einfachsten mit der Gegenwahrscheinlichkeit. 1 Punkt für die Formel, ein Punkt für Die Lösung. Alternativ ein Punkt für die Idee «Gegenwahrscheinlichkeit», falls Formel und/oder Lösung falsch. $$P(\text{genau 0}) = \frac{{ 3 \choose 0 } \cdot{} { 17 \choose 0 }}{{20 \choose 3} } = \frac{35}{57} \Longrightarrow$$ $$P(\text{mind. 1}) = 1 - P(\text{keiner}) = 1 - \frac{34}{57} = \frac{23}{57} \approx 40.351\%$$ } \TRAINER{}%% \end{frage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \TRAINER{\subsection{Anwendungen der Bernoulli-Formel}} \noTRAINER{\subsection{Anwendungen}} \begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe Ein BMS-Semester von Lou besteht aus 22 Schultagen. An sechs Tagen davon finden Semesterprüfungen in Mathematik statt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein BMS-Tag gleichzeitig ein Mathematik-Prüfungstag ist ist demnach \vspace{12mm} $p=\LoesungsRaum{\frac{6}{22}}$. Lou hat in diesem Semester an vier Tagen gefehlt. Angenommen das Fehlen von Lou hat nichts mit den Mathematik-Semesterprüfungen zu tun und ist rein zufällig, sowie auch das Auftreten der Mathematik-Prüfungen zufällig über das Semester verteilt ist. Wie klein ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lou genau drei seiner vier Fehltage im Semester an einer Mathematik-Semesterprüfung fehlt. \vspace{22mm} Diese Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$ beträgt \LoesungsRaumLang{5.901}\% (Angabe in \% auf mind. 4 Dezimalen). \noTRAINER{\mmPapier{8}}%% \TRAINER{ $$P(X=3) = {4\choose 3} \cdot{} \left(\frac{6}{22}\right)^{3} \cdot{} \left(1-\frac{6}{22} \right)^{4-3} \approx 5.901\%$$ Ein halber Punkt für $p=6/22$ Ein halber für 3 aus 4. Ein Punkt fürs Aufstellen der Bernoulli-Formel oder fürs korrekte Eintippen der drei Zahlen in den TR. Ein halber Punkt für die Lösung als Faktor. Der letzte halbe Punkt fürs korrekte Darstellen der Lösung in \%. Falls die Wahrscheinlichkeit in Teilaufgabe 1 falsch berechnet wurde, gibt es dennoch die Folgepunkte, falls mit dem falschen Resultat auf korrekte Weise weitergerechnet wurde. }%% \end{frage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe Felix Feldmann übt den Torschuss. In einer Serie von 45 Schuss will er seine Trefferwahrscheinlichkeit berechnen. a) Wie viele Trefferwahrscheinlichkeiten sind mit seiner Methode der 45 Schuss denkbar? $$\text{Es gibt } \LoesungsRaumLang{46} \text{ mögliche Trefferwahrscheinlichkeiten.}$$ \noTRAINER{\mmPapier{2.8}}%% \TRAINER{1 Punkt für die Lösung, keine Teilpunkte für 45 o.ä.} Felix Feldmann hat seine Trefferwahrscheinlichkeit auf $\frac{33}{45} = \frac{11}{15}$ ermittelt. Angenommen, seine ermittelte Wahrscheinlichkeit sei genau: Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass er bei einem Durchgang von 10 Schüssen zwischen drei und sechs Toren schießt? (Angabe in \% auf mind 2 Dezimalen) $$\text{Er trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von } \LoesungsRaum{9.39} \% \text{ zwischen drei und sechs Toren.}$$ \noTRAINER{\mmPapier{6}} \TRAINER{Binomialpdf von 4 + 5 Toren: $2.18\% + 7.21\% \approx 9.39\%$} \TRAINER{1 Punkt für die Bernoulli-Formel. 0.5 Punkt für die korrekte Wahrscheinlichkeit von 4 bzw. 5 Toren. 0.5 Pkt für die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten.} \TRAINER{0.5 Punkt Abzug falls 3-6 Tore und nicht 4-5 Tore berechnet wurden.$7.66 + 9.39\approx 17.1\%$} \end{frage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe Nur 2\% der Babys überleben die Entbindung nicht. Ebenso kommen 85\% aller Babys ohne Kaiserschnitt zur Welt. Die Überlebenschancen beim Kaiserschnitt liegen bei 97\%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Baby, das nicht per Kaiserschnitt zur Welt kommt, die Geburt überlebt? (Tipp: Vierfeldtafel oder Wahrscheinlichkeitsbaum; bedingte Wahrscheinlichkeit) \vspace{15mm} Die Wahrscheinlichkeit beträgt \LoesungsRaum{} (Geben Sie das Resultat in \% und auf mind. 2 Dezimalen genau an.) %%$$\lx=\LoesungsRaum{98.05\%}$$ \noTRAINER{\mmPapier{8}}%% \TRAINER{1 Pkt für die Kontingenztafel mit den gegebenen Werten ausgefüllt inkl. 98+2 = 100 und 95+5 =100; Weiterer Punkt für die Vervollständigung der Kontingenztafel. \begin{tabular}{c|c|c|c} & Kaiserschnitt & Normal & Total \\\hline Verstorben & 0.15\% & 1.85\% & 2\% \\\hline Überlebend & 4.85\% & 93.15\% & 98\% \\\hline Total & 5\% & 95\% & 100\% \\ \end{tabular} (Analog zwei Punkte, falls mit Baum gelöst) 3. Punkt für die korrekte Berechnung $\frac{93.15}{95.00}\approx 98.05$ }%% \end{frage} \newpage \subsubsection{Bonusaufgabe Wahrscheinlichkeit}%% %% \begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe Das folgende Wegstück wurde in der Nacht vom Sturm arg beschädigt: \bbwCenterGraphic{14cm}{img/Bruecken.png} Jede der drei Brücken ist nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 80\% intakt. Mit 20\% Wahrscheinlichkeit kann jede der drei Brücken nicht passiert werden. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass ich nach dem beschriebenen Sturm auf den angegebenen Wegen von A nach B gelangen kann? \vspace{10mm} Die Wahrscheinlichkeit von A nach B zu gelangen ist \LoesungsRaum{92.8} \% (Lösung exakt angeben). \platzFuerBerechnungen{9.6}%% \TRAINER{Möglichkeit: Dreistufiger Baum mit jeder Brücke. Einen Punkt für den dreistufigen Baum, Einen Punkt für die korrekten Wahrscheinlichkeiten jeder Möglichkeit. Dritter Punkt fürs addieren der korrekten Blätter. 3 Punkte auch für eine analoge Lösung ohne Wahrscheinlichkeitsbaum. }%% \end{frage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Summenzeichen} \begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe Gegeben sind die beiden folgenden Terme: $$T_1(n) := \frac16n(n+1)(2n+1)$$ $$T_2(n) := \sum_{i=1}^{n} i^2$$ Zeigen Sie, dass die beiden Terme für $n=6$ identisch sind: $$T_1(6) = T_2(6)$$ Berechnen Sie dazu zuerst das Produkt $T_1(6)$ auf der linken Seite: $$T_1(6) = \LoesungsRaum{7\cdot{}13=91}$$\ \noTRAINER{\mmPapier{2}} Berechnen Sie nun die Summe $T_2(6)$ auf der rechten Seite. Geben Sie dazu explizit alle Summanden der Summe an: $$\sum_{i=1}^6i^2=\LoesungsRaumLang{1+4+9+25+36}$$ \noTRAINER{\mmPapier{2.4}} Berechnen Sie diese Summe: $T_2(6) = \LoesungsRaum{91}$ Zeigen Sie an einem anderen Zahlenbeispiel $n > 3$ ($n\in\mathbb{N}$), dass die Identitätsgleichung ($T_1(n) = T_2(n)$) wahr ist: \TNT{1.2}{$T_1(4) = 1+4 + 9 + 16 = 30 = \frac16\cdot{}4\cdot{}(5)(9)$} \vspace{5mm}%% %% \noTRAINER{\mmPapier{4.4}}%% \end{frage}% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}%