\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
Im Quadrat mit Seitenlänge $a$ sind drei Kreise einbeschrieben (Grafik).
Die Kreise sind maximal groß und berühren je zwei andere Kreise. Einer
der Kreise berührt zwei Quadratseiten, die anderen Kreise berühren je
eine Quadratseite. Alle Kreise sind gleich groß mit Radius $r$.

\noTRAINER{  \bbwCenterGraphic{7cm}{P_ALLG/geometrie/planimetrie/img/KreisberuehrungDreiKreiseImQuadrat.png}}
\TRAINER{  \bbwCenterGraphic{4cm}{P_ALLG/geometrie/planimetrie/img/KreisberuehrungDreiKreiseImQuadrat.png}}

Wie groß ist nun der Radius $r$ in
Abhängigkeit von $a$?

Geben Sie mind. vier Dezimalen an:


$$r \approx \LoesungsRaum{0.254333 = \frac{1}{2(1+\cos(15\degre))}}  \cdot{} a $$

Tipps:

\begin{itemize}
\item Verbinden Sie die Mittelpunkte von $A$, $B$ und $C$. Was für ein Dreieck ist das Dreieck $ABC$?

  \item Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $\overline{AB}$.
  (legen Sie die beiden Katheten parallel zu den
    Quadratseiten). Berechnen Sie den kleinsten Winkel ($\varepsilon$) in dem eben gezeichneten
  rechtwinkligen Dreieck. Hilfe: Zeichnen Sie auch die
  Quadratdiagonale durch $A$ ein.
  
\vspace{5mm}

Winkel $\varepsilon$= $\LoesungsRaum{15}\degre$. \TRAINER{1 Pkt.}

\item Sie können hier die Katheten nicht mit dem Satz des Pythagoras berechnen, dazu haben Sie zu wenig Angaben. Aber vielleicht hilft hier die Trigonometrie (Sinus, Cosinus, Tangens) weiter?
\end{itemize}%%
\mmPapier{5.2}
  \TRAINER{}%%
\end{frage}