Neue Aufgaben

gesoBMP2024/Pruefung.tex

@@ -28,7 +28,7 @@ Was ist der $y$-Achsenabschnitt dieser Funktion?
 Der $y$-Achsenabschnitt von $f$ beträgt: \LoesungsRaum{-2.3}
 
 
-\platzFuerBerechnungen{4.4}%%
+\platzFuerBerechnungen{8}%%
 \end{frage}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -60,21 +60,41 @@ $$a = \frac{96}{2^4} = 6$$
 \end{frage}%%
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+\begin{frage}[4]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
 In einem trüben See nimmt die Lichtintensität pro Meter um 37\% ab.
 
 Ein anfänglich mit 100\% leuchtendes LASER-Licht leuchtet in diesen
 See.
 
-a) Wie groß ist die Lichtintensität in 4 m Entfernung unter Wasser?
+a) Geben Sie den Abnahmefaktor der Lichtintensität an:
+\vspace{12mm}
+Der Abnahmefaktor beträgt \LoesungsRaum{0.63}.
+
+\platzFuerBerechnungen{2.4}%%
+\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe a}
+
+
+
+b) Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung $y = f(x)$ an, welche den
+exponentiellen Zerfall der Lichtintensität beschreibt. Dabei ist x die
+Distanz in Metern und y die Intensität in \%.
+
+\vspace{12mm}
+Eine mögiche Zerfallsfunktion wäre $f: y= \LoesungsRaumLang{100\%\cdot{}0.63^x}$.
+
+\platzFuerBerechnungen{2.4}%%
+\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe b}
+
+
+c) Wie groß ist die Lichtintensität in 4 m Entfernung unter Wasser?
 \vspace{12mm}
 Die Intensität beträgt noch \LoesungsRaum{15.75\%}. (Angabe in \% auf
 mind. zwei Dezimalen.
 
-\platzFuerBerechnungen{4.4}%%
-\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe 1}
+\platzFuerBerechnungen{3.2}%%
+\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe c}
 
-b) In wie vielen Metern unter Wasser ist die ursprüngliche Intensität
+d) In wie vielen Metern unter Wasser ist die ursprüngliche Intensität
 auf 1\% abgefallen?
 \vspace{12mm}
 In \LoesungsRaum{9.967} m ist die Intensität noch 1\% von den
@@ -95,7 +115,47 @@ $$x = \log_{0.63}(0.01) = \frac{\lg(0.01)}{\lg(0.63)}\approx 9.967$$
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Wahrscheinlichkeitsrechung}
 
-\begin{frage}[1]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Brenda Brillant hat 20 Fingerringe.
+
+a) Angenommen sie trägt an beiden
+Ringfingern je einen dieser 20 Fingerringe. Auf wie viele Arten ist
+dies möglich, wenn der linke und der rechte Ringfinger unterschieden
+werden?
+
+\vspace{12mm}
+
+
+So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$20\cdot{}19 = 380$} Arten ihre Ringe tragen.
+
+\platzFuerBerechnungen{4}
+\TRAINER{0.5 Punkte für eine der Zahlen 20 oder 19. Voller Punkt für
+das Resulat 380}%%
+
+
+b) Brenda zieht nun acht Ringe an (die Daumen läßt sie frei).
+Auf wie viele Arten kann Brenda die acht Ringe der 20 Ringe auswählen,
+wenn die Reihenfolge an den Fingern keine Rolle spielt?
+
+
+\vspace{12mm}
+
+
+So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$\frac{20!}{12!8!} = 125\,970$} Arten ihre Ringe tragen.
+
+\platzFuerBerechnungen{8}
+\TRAINER{Einen Punkt für die korrekte Formel (nCr oder mit
+Fakultät). Zweiten Punkt für die korrekte Lösung.}%%
+
+
+
+\end{frage}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
 Robin hat 20 Farbstifte. Alle sind stumpf und müssen gespitzt werden.
 Robin nimmt drei davon, spitzt diese und legt sie zurück.
 
@@ -146,7 +206,44 @@ $$P(\text{mind. 1}) = 1 - P(\text{keiner}) = 1 - \frac{34}{57}
 \TRAINER{}%%
 \end{frage}
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+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Ein BMS-Semester von Lou besteht aus 22 Schultagen. An sechs Tagen davon finden
+Semesterprüfungen in Mathematik statt. Die Wahrscheinlichkeit, dass
+ein BMS-Tag gleichzeitig ein Mathematik-Prüfungstag ist ist demnach
+
+\vspace{12mm}
+
+$p=\LoesungsRaum{\frac{6}{22}}$.
+
+
+Lou hat in diesem Semester an vier Tagen gefehlt.
+
+Angenommen das Fehlen von Lou hat nichts mit den
+Mathematik-Semesterprüfungen zu tun und ist rein zufällig, sowie auch
+das Auftreten der Mathematik-Prüfungen zufällig über das Semester
+verteilt ist. Wie klein
+ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lou genau drei seiner vier
+Fehltage im Semester an einer Mathematik-Semesterprüfung fehlt.
 
+\vspace{22mm}
 
+Diese Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$  beträgt \LoesungsRaumLang{5.901}\% (Angabe
+in \% auf mind. 4 Dezimalen).
+\platzFuerBerechnungen{8}%%
+\TRAINER{
+$$P(X=3) = {4\choose
+3} \cdot{} \left(\frac{6}{22}\right)^{3} \cdot{} \left(1-\frac{6}{22} \right)^{4-3} \approx 5.901\%$$
+
+Ein halber Punkt für $p=6/22$
+Ein halber für 3 aus 4.
+Ein  Punkt fürs Aufstellen der Bernoulli-Formel oder fürs
+korrekte Eintippen der drei Zahlen in den TR.
+Ein halber Punkt für die Lösung als Faktor.
+Der letzte halbe Punkt fürs korrekte Darstellen der Lösung in \%.
+}%%
+\end{frage}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 \end{document}%