Prüfung in Einzelfragen auseinandergenommen.

gesoBMP2024/Pruefung.tex

@@ -19,445 +19,31 @@
 
 %% Erster Titel
 \section{Funktionen}
-\begin{frage}[2]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-Von der linearen Funktion $f: y=ax+b$ ist die Steigung 2.4
-gegeben. Ebenso ist bekannt, dass die Funktion durch den Punkt
-$P=(4|7.3)$ verläuft.
-
-Was ist der $y$-Achsenabschnitt (= Ordinatenabschnitt) dieser Funktion?
-\vspace{12mm}
-
-Der $y$-Achsenabschnitt von $f$ beträgt: \LoesungsRaum{-2.3}
-
-
-\noTRAINER{\mmPapier{8}}%%
-\TRAINER{[4'] Lernziele: Steigung, Ordinatenabschnitt, Funktionsterm. 0.5
-Punkte fürs Einsetzen der Steigung als $a$. 0.5 Punkte fürs Einsetzen
-des Punktes in die Funktionsgleichung, 0.5 Punkte fürs Lösen der
-Gleichung nach $b$. Volle Punktzahl für die L;Lösung -2.3.}
-\end{frage}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{frage}[3]
-L. F. aus W. will Ferien mit einem \textit{Camper} unternehmen.
-
-Dazu stehen momentan die beiden Optionen offen:
-
-\begin{itemize}
-\item Variante A: «Camper kaufen»: Kosten CHF $23\,900.-$ plus Benzinkosten von CHF
-$0.07$ pro gefahrenem Kilometer
-\item Variante B: «Camper mieten»: Kosten CHF $2\,999.95$ plus Benzinkosten von CHF
-$0.11$ pro gefahrenem Kilometer plus CHF $9.90$ pro gefahrene 50 km für Versicherungen,
-Abschreibung, Reinigung, Wartung.
-\end{itemize}
-
-a) Geben Sie die Kostenfunktion $f$ an, welche die Totalkosten für
-Variante A (Camper kaufen) pro
-gefahrenem Kilometer (= unabhängige Variable $x$) in CHF (= abhängige
-Variable $y$) angibt:
-
-\vspace{5mm}
-$$f: y = \LoesungsRaumLang{0.07 x + 23\,900}$$
-\noTRAINER{\mmPapier{1.6}}\TRAINER{0.5 Pkt. pro korrekte Kostenfunktion}
-
-b) Geben Sie die Kostenfunktion $g$ an, welche die Totalkosten für
-Variante B (Camper mieten) pro
-gefahrenem Kilometer (= unabhängige Variable $x$) in CHF (= abhängige Variable $y$) angibt:
-
-\vspace{5mm}
-$$g: y = \LoesungsRaumLang{0.308x + 2\,999.95}$$
-\noTRAINER{\mmPapier{2.4}}
-
-c) Ab welcher Strecke lohnt sich der Kauf (Variante A)?
-
-\noTRAINER{\vspace{7mm}}\TRAINER{1 Pkt für die Gleichung der beiden
-Funktionsterme oder analoge Gleichung. 1 Pkt fürs korrekte Lösen.}
-
-Die Variante A lohnt sich ab \LoesungsRaum{$87\,815$} km. (Runden Sie
-auf ganze km.)
-
-\noTRAINER{\mmPapier{7.6}}
-\TRAINER{[11' Schätzung]}
-\end{frage}
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-
-\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-Die Potenzfunktion $y=a\cdot{}x^n$ geht durch die beiden Punkte
-$P=(2|96)$ und $Q=\left(\frac13 \middle| \frac2{27}\right)$
-
-Berechnen Sie die Parameter $a$ und $n$ und geben Sie die
-Funktionsgleichung an:
-
-$$y=\LoesungsRaumLang{6\cdot{}x^4}$$
-
-\noTRAINER{\mmPapier{18}}%%
-%%
-\TRAINER{1 Punkt für das Einsetzen der Punkte:
-
-I: $96 = a \cdot{} 2^n$
-
-II: $\frac{2}{27} = a \cdot{} \left( \frac13 \right)^n$
-
-Ein halber Punkt für das Separieren einer Variable \zB:
-$$a = \frac{96}{2^n}$$
-Ein ganzer Punkt fürs Berechnen eines der beiden Parameter:
-$$\frac2{27} = \frac{96}{2^n} \cdot{} \frac1{3^n} = \frac{96}{6^n}$$
-$$\Longrightarrow$$
-$$\frac{48}{27} = 6^n \Longrightarrow n = \log_{6}(\frac{48}{27}) = 4$$
-0.5 Punkte für die 2. Variable
-$$a = \frac{96}{2^4} = 6$$
-}%% end TRAINER
-\end{frage}%%
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{frage}[4]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-In einem trüben See nimmt die Lichtintensität pro Meter um 37\% ab.
-
-Ein anfänglich mit 100\% leuchtendes LASER-Licht leuchtet in diesem
-See.
-
-a) Geben Sie den Abnahmefaktor der Lichtintensität an:
-\vspace{6mm}
-Der Abnahmefaktor beträgt \LoesungsRaum{0.63}.
-
-\noTRAINER{\mmPapier{1.6}}
-%%\mmPapier{2.4}%%
-
-\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe a}
-
-b) Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung $y = f(x)$ an, welche den
-exponentiellen Zerfall der Lichtintensität beschreibt. Dabei ist $x$ die
-Distanz in Metern und $y$ die Intensität in \%.
-
-\vspace{12mm}
-Eine mögliche Zerfallsfunktion wäre $f: y= \LoesungsRaumLang{100\%\cdot{}0.63^x}$.
-
-\noTRAINER{\mmPapier{2}}
-%%\mmPapier{2.4}%%
-\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe b}
-
-
-c) Wie groß ist unter Wasser die Lichtintensität in 4 m Entfernung von
-der Lichtquelle?
-\vspace{12mm}
-Die Intensität beträgt noch \LoesungsRaum{15.75\%}. (Angabe in \% auf
-mind. zwei Dezimalen.)
-
-\noTRAINER{\mmPapier{3.2}}%%
-\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe c}
-
-d) In wie vielen Metern unter Wasser ist die ursprüngliche Intensität
-auf 1\% abgefallen?
-\vspace{12mm}
-In \LoesungsRaum{9.967} m ist die Intensität noch 1\% von den
-anfänglichen 100\%. (Angabe in Metern auf mind. 3 Dezimalen.)
-
-
-\noTRAINER{\mmPapier{6}}%%
-\TRAINER{Ein Punkt für die Gleichung (oder eine analoge Gleichung):
-$$0.01= 0.63^x$$
-Zweiter Punkt fürs Lösen der Gleichung und die Angabe als Dezimalzahl.
-$$x = \log_{0.63}(0.01) = \frac{\lg(0.01)}{\lg(0.63)}\approx 9.967$$
-}%%
-\end{frage}
-
 
+\input{aufg/LineareFunktionBegriffe}
+\input{aufg/LineareFunktionCamper}
+\input{aufg/PotenzfunktionDurchPunkte}
+\input{aufg/ExponentiellerZerfall}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik}
-
-
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{frage}[2]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-Es gibt Gummibärchen in den fünf Farben blau, grün, gelb, orange und
-rot. Als Glücksbringer erhalten 17 Teilnehmende einer GESO-Klasse je
-ein Gummibärchen einer zufälligen Farbe. Auf wie viele Arten ist dies
-möglich? (GESO = Ausrichtung Gesundheit und Soziales)
-
-\vspace{13mm}
-
-Es gibt insgesamt \LoesungsRaum{$7.62\cdot{}10^{11} $  = 762
-Milliarden = $762\cdot{}10^9$} Variationen, fünf Farben
-auf die siebzehn Teilnehmenden zu verteilen.
-
-\noTRAINER{\mmPapier{6}}%%
-
-\TRAINER{Ein Punkt für die richtige Formel ($n^k$) und einen Punkt für
-die Interpretation der großen Zahl (entweder in wissenschaftlicher, in
-ingenieurmäßigen Darstellung oder in Worten.}%%
-\end{frage} 
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-Brenda Brillant besitzt 20 Fingerringe.
-
-a) Angenommen sie trägt an beiden
-Ringfingern je einen dieser 20 Fingerringe. Auf wie viele Arten ist
-dies möglich, wenn der linke und der rechte Ringfinger unterschieden
-werden? Es soll also eine andere Variante sein, wenn Sie die
-beiden Ringe vertauscht.
-
-\vspace{12mm}
-
-
-So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$20\cdot{}19 = 380$} Arten ihre Ringe tragen.
-
-\noTRAINER{\mmPapier{4}}
-\TRAINER{0.5 Punkte für eine der Zahlen 20 oder 19. Voller Punkt für
-das Resultat 380}%%
-
-
-b) Brenda zieht nun acht Ringe an (die Daumen lässt sie frei).
-Auf wie viele Arten kann Brenda die acht Ringe der 20 Ringe auswählen,
-wenn diesmal hingegen die Reihenfolge an den Fingern keine Rolle spielt?
-
-
-\vspace{12mm}
-
-So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$\frac{20!}{12!8!} = 125\,970$} Arten ihre Ringe tragen.
-
-\noTRAINER{\mmPapier{6}}
-\TRAINER{Einen Punkt für die korrekte Formel (nCr oder mit
-Fakultät). Zweiten Punkt für die korrekte Lösung.}%%
-
-
-\end{frage}
-
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-
-\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-Robin hat 20 Farbstifte. Alle sind stumpf und müssen gespitzt werden.
-Robin nimmt drei davon, spitzt diese und legt sie zurück.
-
-Wenn Robin nun aufs Geratewohl zufällig wieder drei Farbstifte nimmt,
-wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ...
-
-a) ...dass genau zwei davon bereits gespitzt sind?
-
-\vspace{12mm}
-Diese Wahrscheinlichkeit
-beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{17}{380} \approx 4.47\%$}. (Angabe exakt
-oder in \% auf mind. zwei Nachkommastellen.)
-
-
-\noTRAINER{\mmPapier{4.8}}%%
-\TRAINER{Lotto Wahrscheinlichkeit. 1Pkt für die korrekte Formel. 1Pkt
-für die korrekte Lösung.
-
-$$P(\text{genau 2}) = \frac{{ 3 \choose 2 }\cdot{}{ 17 \choose 1 }}{
-{20 \choose 3} } = \frac{17}{380} \approx 4.47 \% $$}
-
-
-b) ... dass mindestens einer davon bereits gespitzt ist?
-
-\vspace{12mm}
-Diese Wahrscheinlichkeit
-beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{23}{57}\approx 40.351\%$}. (Angabe
-exakt oder in \%
-auf mind drei Nachkommastellen.)
-
-\noTRAINER{\mmPapier{11.2}}%%
-\TRAINER{Am einfachsten mit der Gegenwahrscheinlichkeit. 1 Punkt für
-die Formel, ein Punkt für Die Lösung. Alternativ ein Punkt für die
-Idee «Gegenwahrscheinlichkeit», falls Formel und/oder Lösung falsch.
-
-$$P(\text{genau 0}) = \frac{{ 3 \choose 0 } \cdot{} { 17 \choose 0 }}{{20 \choose 3} } = \frac{35}{57} \Longrightarrow$$
-
-$$P(\text{mind. 1}) = 1 - P(\text{keiner}) = 1 - \frac{34}{57}
-= \frac{23}{57} \approx 40.351\%$$
-}%%
-%%
-\TRAINER{}%%
-\end{frage}
+\input{aufg/KombinatorikVariationGummibaerchen}
+\input{aufg/KombinatorikKombinationBrenda}
+\input{aufg/KombinatorikHypergeometrischGegenwahrscheinlichkeitFarbstifte}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 \TRAINER{\subsection{Anwendungen der Bernoulli-Formel}}
 \noTRAINER{\subsection{Anwendungen}}
 
-% \begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-% Ein BMS-Semester von Lou besteht aus 22 Schultagen. An sechs Tagen davon finden
-% Semesterprüfungen in Mathematik statt. Die Wahrscheinlichkeit, dass
-% ein BMS-Tag gleichzeitig ein Mathematik-Prüfungstag ist ist demnach
-
-% \vspace{12mm}
-
-% $p=\LoesungsRaum{\frac{6}{22}}$.
-
-% Lou hat in diesem Semester an vier Tagen gefehlt.
-
-% Angenommen das Fehlen von Lou hat nichts mit den
-% Mathematik-Semesterprüfungen zu tun und ist rein zufällig, sowie auch
-% das Auftreten der Mathematik-Prüfungen zufällig über das Semester
-% verteilt ist. Wie klein
-% ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lou genau drei seiner vier
-% Fehltage im Semester an einer Mathematik-Semesterprüfung fehlt.
-
-% \vspace{22mm}
-
-% Diese Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$  beträgt \LoesungsRaumLang{5.901}\% (Angabe
-% in \% auf mind. 4 Dezimalen).
-
-% \noTRAINER{\mmPapier{8}}%%
-% \TRAINER{
-% $$P(X=3) = {4\choose
-% 3} \cdot{} \left(\frac{6}{22}\right)^{3} \cdot{} \left(1-\frac{6}{22} \right)^% {4-3} \approx 5.901\%$$
-
-% Ein halber Punkt für $p=6/22$
-% Ein halber für 3 aus 4.
-% Ein  Punkt fürs Aufstellen der Bernoulli-Formel oder fürs
-% korrekte Eintippen der drei Zahlen in den TR.
-% Ein halber Punkt für die Lösung als Faktor.
-% Der letzte halbe Punkt fürs korrekte Darstellen der Lösung in \%.
-
-% Falls die Wahrscheinlichkeit in Teilaufgabe 1 falsch berechnet wurde,
-% gibt es dennoch die Folgepunkte, falls mit dem falschen Resultat auf
-% korrekte Weise weitergerechnet wurde.
-% }%%
-% \end{frage}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-Felix Feldmann übt den Torschuss. In einer Serie von 45 Schuss will er
-seine Trefferwahrscheinlichkeit berechnen.
-
-a) Wie viele Trefferwahrscheinlichkeiten sind mit seiner Methode der 45
-Schuss denkbar?
-
-$$\text{Es gibt } \LoesungsRaumLang{46} \text{ mögliche Trefferwahrscheinlichkeiten.}$$
-\noTRAINER{\mmPapier{3.2}}%%
-
-\TRAINER{1 Punkt für die Lösung, keine Teilpunkte für 45 o.ä.}
-
-Felix Feldmann hat seine Trefferwahrscheinlichkeit auf $\frac{33}{45}
-= \frac{11}{15}$ ermittelt. Angenommen, seine ermittelte
-Wahrscheinlichkeit sei genau: Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit,
-dass er bei einem Durchgang von 10 Schüssen zwischen drei und sechs
-Toren schießt?
-
-(Angabe in \% auf mind 2 Dezimalen)
-
-$$\text{Er trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von } \LoesungsRaum{9.39} \%
-\text{ zwischen drei und sechs Toren.}$$
-
-\noTRAINER{\mmPapier{12}}
-\TRAINER{Binomialpdf von 4 + 5 Toren: $2.18\% + 7.21\% \approx
-9.39\%$}
-\TRAINER{1 Punkt für die Bernoulli-Formel. 0.5 Punkt für die korrekte
-Wahrscheinlichkeit von 4 bzw. 5 Toren. 0.5 Pkt für die Summe der
-beiden Wahrscheinlichkeiten.}
-\TRAINER{0.5 Punkt Abzug falls 3-6 Tore und nicht 4-5 Tore berechnet wurden.$7.66 +
-9.39\approx 17.1\%$}
-\end{frage}
-
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-Nur 2\% der Babys überleben die Entbindung nicht. Ebenso kommen 85\%
-aller Babys ohne Kaiserschnitt zur Welt. Die Überlebenschancen beim
-Kaiserschnitt liegen bei 97\%.
-
-Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Baby, das nicht per
-Kaiserschnitt zur Welt kommt, die Geburt überlebt?
-
-(Tipp: Vierfeldtafel oder Wahrscheinlichkeitsbaum;  bedingte Wahrscheinlichkeit)
-
-\vspace{12mm}
-
-Die Wahrscheinlichkeit beträgt \LoesungsRaum{} (Geben Sie das Resultat
-in \% und auf mind. 2 Dezimalen genau an.)
-
-%%$$\lx=\LoesungsRaum{98.05\%}$$
-
-\noTRAINER{\mmPapier{16}}%%
-\TRAINER{1 Pkt für die Kontingenztafel mit den gegebenen Werten
-ausgefüllt inkl. 98+2 = 100 und 85+15 =100;
-
-Weiterer Punkt für die Vervollständigung der Kontingenztafel.
-
-\begin{tabular}{c|c|c|c}
-            & Kaiserschnitt & Normal   & Total \\\hline
-Verstorben  & 0.45\%        &  1.55\%  & 2\%   \\\hline
-Überlebend  & 14.55\%       &  83.45\% & 98\%  \\\hline
-Total       & 15\%          &  85\%    & 100\% \\
-\end{tabular}
- 
-
-(Analog zwei Punkte, falls mit Baum gelöst)
-
-3. Punkt für die korrekte Berechnung $\frac{83.45}{85.00}\approx
-98.17$
-
-Für die Lösung 83.45\% gibt es nur 2 der drei Punkte.
-}%%
-\end{frage}
-\newpage
+%%\input{aufg/KombinatorikBernoulliSchuleSchwaenzen} 
+\input{aufg/KombinatorikBernoulliTorschuss}
+\input{aufg/WahrscheinlichkeitKontingenztafelBabys}
 
 \subsubsection{Bonusaufgabe Wahrscheinlichkeit}%%
-%%
-\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-Das folgende Wegstück wurde in der Nacht vom Sturm arg beschädigt:
-
-\bbwCenterGraphic{12cm}{img/Bruecken.png}
-
-Jede der drei Brücken ist nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von
-80\% intakt. Mit 20\% Wahrscheinlichkeit kann jede der drei Brücken
-nicht passiert werden.
-
-Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass ich nach dem
-beschriebenen Sturm auf mind. einem der beiden angegebenen Wegen von A nach B gelangen
-kann?
-
-\vspace{12mm}
-Die Wahrscheinlichkeit von A nach B zu gelangen ist \LoesungsRaum{92.8} \% (Lösung exakt angeben).
-
-\platzFuerBerechnungen{9.6}%%
-\TRAINER{Möglichkeit: Dreistufiger Baum mit jeder Brücke. Einen Punkt
-für den dreistufigen Baum, Einen Punkt für die korrekten
-Wahrscheinlichkeiten jeder Möglichkeit. Dritter Punkt fürs addieren
-der korrekten Blätter.
-3 Punkte auch für eine analoge Lösung ohne Wahrscheinlichkeitsbaum. }%%
-\end{frage} 
-
-
+\input{aufg/WahrscheinlichkeitBaumWegstueck}%%
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsection{Summenzeichen}
-\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
-Gegeben sind die beiden folgenden Terme:
-
-$$T_1(n) := \frac16n(n+1)(2n+1)$$
-$$T_2(n) := \sum_{i=1}^{n} i^2$$
-
-Zeigen Sie, dass die beiden Terme für $n=6$ den selben Wert liefern;
-also dass gilt:
-
-$$T_1(6) = T_2(6)$$
-
-Berechnen Sie dazu zuerst das Produkt $T_1(6)$ auf der linken Seite:
-
-$$T_1(6) = \LoesungsRaum{7\cdot{}13=91}$$\
-\noTRAINER{\mmPapier{2}}
-
-Berechnen Sie nun die Summe $T_2(6)$ auf der rechten Seite.
-
-Geben Sie zunächst explizit alle Summanden der Summe an:
-$$\sum_{i=1}^6i^2=\LoesungsRaumLang{1+4+9+25+36}$$
-
-\noTRAINER{\mmPapier{2.4}}
-
-Berechnen Sie diese Summe: $T_2(6) = \LoesungsRaum{91}$
-
-Zeigen Sie an einem anderen Zahlenbeispiel $n > 3$ ($n\in\mathbb{N}$), dass die
-Identitätsgleichung ($T_1(n) = T_2(n)$) wahr ist:
-
-\TNT{1.2}{$T_1(4) = 1+4 + 9 + 16 = 30 = \frac16\cdot{}4\cdot{}(5)(9)$}
-
-\vspace{5mm}%%
-%%
-\noTRAINER{\mmPapier{4.4}}%%
-\end{frage}%
+\input{aufg/Summenzeichen}%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \end{document}%

gesoBMP2024/aufg/ExponentiellerZerfall.tex

@@ -0,0 +1,50 @@
+\begin{frage}[4]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+In einem trüben See nimmt die Lichtintensität pro Meter um 37\% ab.
+
+Ein anfänglich mit 100\% leuchtendes LASER-Licht leuchtet in diesem
+See.
+
+a) Geben Sie den Abnahmefaktor der Lichtintensität an:
+\vspace{6mm}
+Der Abnahmefaktor beträgt \LoesungsRaum{0.63}.
+
+\noTRAINER{\mmPapier{1.6}}
+%%\mmPapier{2.4}%%
+
+\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe a}
+
+b) Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung $y = f(x)$ an, welche den
+exponentiellen Zerfall der Lichtintensität beschreibt. Dabei ist $x$ die
+Distanz in Metern und $y$ die Intensität in \%.
+
+\vspace{12mm}
+Eine mögliche Zerfallsfunktion wäre $f: y= \LoesungsRaumLang{100\%\cdot{}0.63^x}$.
+
+\noTRAINER{\mmPapier{2}}
+%%\mmPapier{2.4}%%
+\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe b}
+
+
+c) Wie groß ist unter Wasser die Lichtintensität in 4 m Entfernung von
+der Lichtquelle?
+\vspace{12mm}
+Die Intensität beträgt noch \LoesungsRaum{15.75\%}. (Angabe in \% auf
+mind. zwei Dezimalen.)
+
+\noTRAINER{\mmPapier{3.2}}%%
+\TRAINER{Ein Punkt für Teilaufgabe c}
+
+d) In wie vielen Metern unter Wasser ist die ursprüngliche Intensität
+auf 1\% abgefallen?
+\vspace{12mm}
+In \LoesungsRaum{9.967} m ist die Intensität noch 1\% von den
+anfänglichen 100\%. (Angabe in Metern auf mind. 3 Dezimalen.)
+
+
+\noTRAINER{\mmPapier{6}}%%
+\TRAINER{Ein Punkt für die Gleichung (oder eine analoge Gleichung):
+$$0.01= 0.63^x$$
+Zweiter Punkt fürs Lösen der Gleichung und die Angabe als Dezimalzahl.
+$$x = \log_{0.63}(0.01) = \frac{\lg(0.01)}{\lg(0.63)}\approx 9.967$$
+}%%
+\end{frage}%%

gesoBMP2024/aufg/KombinatorikBernoulliSchuleSchwaenzen.tex

@@ -0,0 +1,41 @@
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Ein BMS-Semester von Lou besteht aus 22 Schultagen. An sechs Tagen davon finden
+Semesterprüfungen in Mathematik statt. Die Wahrscheinlichkeit, dass
+ein BMS-Tag gleichzeitig ein Mathematik-Prüfungstag ist ist demnach
+
+\vspace{12mm}
+
+$p=\LoesungsRaum{\frac{6}{22}}$.
+
+Lou hat in diesem Semester an vier Tagen gefehlt.
+
+Angenommen das Fehlen von Lou hat nichts mit den
+Mathematik-Semesterprüfungen zu tun und ist rein zufällig, sowie auch
+das Auftreten der Mathematik-Prüfungen zufällig über das Semester
+verteilt ist. Wie klein
+ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lou genau drei seiner vier
+Fehltage im Semester an einer Mathematik-Semesterprüfung fehlt.
+
+\vspace{22mm}
+
+Diese Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$  beträgt \LoesungsRaumLang{5.901}\% (Angabe
+in \% auf mind. 4 Dezimalen).
+
+\noTRAINER{\mmPapier{8}}%%
+\TRAINER{
+$$P(X=3) = {4\choose
+3} \cdot{} \left(\frac{6}{22}\right)^{3} \cdot{} \left(1-\frac{6}{22}
+  \right)^{4-3} \approx 5.901\%$$
+
+Ein halber Punkt für $p=6/22$
+Ein halber für 3 aus 4.
+Ein  Punkt fürs Aufstellen der Bernoulli-Formel oder fürs
+korrekte Eintippen der drei Zahlen in den TR.
+Ein halber Punkt für die Lösung als Faktor.
+Der letzte halbe Punkt fürs korrekte Darstellen der Lösung in \%.
+
+Falls die Wahrscheinlichkeit in Teilaufgabe 1 falsch berechnet wurde,
+gibt es dennoch die Folgepunkte, falls mit dem falschen Resultat auf
+korrekte Weise weitergerechnet wurde.
+}%%
+\end{frage}%%

gesoBMP2024/aufg/KombinatorikBernoulliTorschuss.tex

@@ -0,0 +1,32 @@
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Fußballspieler Felix Feldmann übt den Torschuss. In einer Serie von 45 Schuss will er
+seine Trefferwahrscheinlichkeit berechnen.
+
+a) Wie viele Trefferwahrscheinlichkeiten sind mit seiner Methode der 45
+Schuss denkbar?
+
+$$\text{Es gibt } \LoesungsRaumLang{46} \text{ mögliche Trefferwahrscheinlichkeiten.}$$
+\noTRAINER{\mmPapier{3.2}}%%
+
+\TRAINER{1 Punkt für die Lösung, keine Teilpunkte für 45 o.ä.}
+
+Felix Feldmann hat seine Trefferwahrscheinlichkeit auf $\frac{33}{45}
+= \frac{11}{15}$ ermittelt. Angenommen, seine ermittelte
+Wahrscheinlichkeit sei genau: Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit,
+dass er bei einem Durchgang von 10 Schüssen zwischen drei und sechs
+Toren schießt?
+
+(Angabe in \% auf mind 2 Dezimalen)
+
+$$\text{Er trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von } \LoesungsRaum{9.39} \%
+\text{ zwischen drei und sechs Toren.}$$
+%%
+\noTRAINER{\mmPapier{12}}%%
+\TRAINER{Binomialpdf von 4 + 5 Toren: $2.18\% + 7.21\% \approx
+9.39\%$}
+\TRAINER{1 Punkt für die Bernoulli-Formel. 0.5 Punkt für die korrekte
+Wahrscheinlichkeit von 4 bzw. 5 Toren. 0.5 Pkt für die Summe der
+beiden Wahrscheinlichkeiten.}
+\TRAINER{0.5 Punkt Abzug falls 3-6 Tore und nicht 4-5 Tore berechnet wurden.$7.66 +
+9.39\approx 17.1\%$}%%
+\end{frage}%%

gesoBMP2024/aufg/KombinatorikHypergeometrischGegenwahrscheinlichkeitFarbstifte.tex

@@ -0,0 +1,45 @@
+
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Robin hat 20 Farbstifte. Alle sind stumpf und müssen gespitzt werden.
+Robin nimmt drei davon, spitzt diese und legt sie zurück.
+
+Wenn Robin nun aufs Geratewohl zufällig wieder drei Farbstifte nimmt,
+wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ...
+
+a) ...dass genau zwei davon bereits gespitzt sind?
+
+\vspace{12mm}
+Diese Wahrscheinlichkeit
+beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{17}{380} \approx 4.47\%$}. (Angabe exakt
+oder in \% auf mind. zwei Nachkommastellen.)
+
+
+\noTRAINER{\mmPapier{4.8}}%%
+\TRAINER{Lotto Wahrscheinlichkeit. 1Pkt für die korrekte Formel. 1Pkt
+für die korrekte Lösung.
+
+$$P(\text{genau 2}) = \frac{{ 3 \choose 2 }\cdot{}{ 17 \choose 1 }}{
+{20 \choose 3} } = \frac{17}{380} \approx 4.47 \% $$}
+
+
+b) ... dass mindestens einer davon bereits gespitzt ist?
+
+\vspace{12mm}
+Diese Wahrscheinlichkeit
+beträgt \LoesungsRaumLang{$\frac{23}{57}\approx 40.351\%$}. (Angabe
+exakt oder in \%
+auf mind drei Nachkommastellen.)
+
+\noTRAINER{\mmPapier{11.2}}%%
+\TRAINER{Am einfachsten mit der Gegenwahrscheinlichkeit. 1 Punkt für
+die Formel, ein Punkt für Die Lösung. Alternativ ein Punkt für die
+Idee «Gegenwahrscheinlichkeit», falls Formel und/oder Lösung falsch.
+
+$$P(\text{genau 0}) = \frac{{ 3 \choose 0 } \cdot{} { 17 \choose 0 }}{{20 \choose 3} } = \frac{35}{57} \Longrightarrow$$
+
+$$P(\text{mind. 1}) = 1 - P(\text{keiner}) = 1 - \frac{34}{57}
+= \frac{23}{57} \approx 40.351\%$$
+}%%
+%%
+\TRAINER{}%%
+\end{frage}%%

gesoBMP2024/aufg/KombinatorikKombinationBrenda.tex

@@ -0,0 +1,32 @@
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Brenda Brillant besitzt 20 Fingerringe.
+
+a) Angenommen sie trägt an beiden
+Ringfingern je einen dieser 20 Fingerringe. Auf wie viele Arten ist
+dies möglich, wenn der linke und der rechte Ringfinger unterschieden
+werden? Es soll also eine andere Variante sein, wenn Sie die
+beiden Ringe vertauscht.
+
+\vspace{12mm}
+
+
+So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$20\cdot{}19 = 380$} Arten ihre Ringe tragen.
+
+\noTRAINER{\mmPapier{4}}
+\TRAINER{0.5 Punkte für eine der Zahlen 20 oder 19. Voller Punkt für
+das Resultat 380}%%
+
+
+b) Brenda zieht nun acht Ringe an (die Daumen lässt sie frei).
+Auf wie viele Arten kann Brenda die acht Ringe der 20 Ringe auswählen,
+wenn diesmal hingegen die Reihenfolge an den Fingern keine Rolle spielt?
+
+
+\vspace{12mm}
+
+So kann Brenda auf \LoesungsRaum{$\frac{20!}{12!8!} = 125\,970$} Arten ihre Ringe tragen.
+
+\noTRAINER{\mmPapier{6}}
+\TRAINER{Einen Punkt für die korrekte Formel (nCr oder mit
+Fakultät). Zweiten Punkt für die korrekte Lösung.}%%
+\end{frage}%%

gesoBMP2024/aufg/KombinatorikVariationGummibaerchen.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\begin{frage}[2]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Es gibt Gummibärchen in den fünf Farben blau, grün, gelb, orange und
+rot. Als Glücksbringer erhalten 17 Teilnehmende einer GESO-Klasse je
+ein Gummibärchen einer zufälligen Farbe. Auf wie viele Arten ist dies
+möglich? (GESO = Ausrichtung Gesundheit und Soziales)
+
+\vspace{13mm}
+
+Es gibt insgesamt \LoesungsRaum{$7.62\cdot{}10^{11} $  = 762
+Milliarden = $762\cdot{}10^9$} Variationen, fünf Farben
+auf die siebzehn Teilnehmenden zu verteilen.
+
+\noTRAINER{\mmPapier{6}}%%
+
+\TRAINER{Ein Punkt für die richtige Formel ($n^k$) und einen Punkt für
+die Interpretation der großen Zahl (entweder in wissenschaftlicher, in
+ingenieurmäßigen Darstellung oder in Worten.}%%
+\end{frage} 

gesoBMP2024/aufg/LineareFunktionBegriffe.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\begin{frage}[2]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Von der linearen Funktion $f: y=ax+b$ ist die Steigung 2.4
+gegeben. Ebenso ist bekannt, dass die Funktion durch den Punkt
+$P=(4|7.3)$ verläuft.
+
+Was ist der $y$-Achsenabschnitt (= Ordinatenabschnitt) dieser Funktion?
+\vspace{12mm}
+
+Der $y$-Achsenabschnitt von $f$ beträgt: \LoesungsRaum{-2.3}
+
+
+\noTRAINER{\mmPapier{8}}%%
+\TRAINER{[4'] Lernziele: Steigung, Ordinatenabschnitt, Funktionsterm. 0.5
+Punkte fürs Einsetzen der Steigung als $a$. 0.5 Punkte fürs Einsetzen
+des Punktes in die Funktionsgleichung, 0.5 Punkte fürs Lösen der
+Gleichung nach $b$. Volle Punktzahl für die L;Lösung -2.3.}
+\end{frage}%

gesoBMP2024/aufg/LineareFunktionCamper.tex

@@ -0,0 +1,41 @@
+\begin{frage}[3]
+L. F. aus W. will Ferien mit einem \textit{Camper} unternehmen.
+
+Dazu stehen momentan die beiden Optionen offen:
+
+\begin{itemize}
+\item Variante A: «Camper kaufen»: Kosten CHF $23\,900.-$ plus Benzinkosten von CHF
+$0.07$ pro gefahrenem Kilometer
+\item Variante B: «Camper mieten»: Kosten CHF $2\,999.95$ plus Benzinkosten von CHF
+$0.11$ pro gefahrenem Kilometer plus CHF $9.90$ pro gefahrene 50 km für Versicherungen,
+Abschreibung, Reinigung, Wartung.
+\end{itemize}
+
+a) Geben Sie die Kostenfunktion $f$ an, welche die Totalkosten für
+Variante A (Camper kaufen) pro
+gefahrenem Kilometer (= unabhängige Variable $x$) in CHF (= abhängige
+Variable $y$) angibt:
+
+\vspace{5mm}
+$$f: y = \LoesungsRaumLang{0.07 x + 23\,900}$$
+\noTRAINER{\mmPapier{1.6}}\TRAINER{0.5 Pkt. pro korrekte Kostenfunktion}
+
+b) Geben Sie die Kostenfunktion $g$ an, welche die Totalkosten für
+Variante B (Camper mieten) pro
+gefahrenem Kilometer (= unabhängige Variable $x$) in CHF (= abhängige Variable $y$) angibt:
+
+\vspace{5mm}
+$$g: y = \LoesungsRaumLang{0.308x + 2\,999.95}$$
+\noTRAINER{\mmPapier{2.4}}
+
+c) Ab welcher Strecke lohnt sich der Kauf (Variante A)?
+
+\noTRAINER{\vspace{7mm}}\TRAINER{1 Pkt für die Gleichung der beiden
+Funktionsterme oder analoge Gleichung. 1 Pkt fürs korrekte Lösen.}
+
+Die Variante A lohnt sich ab \LoesungsRaum{$87\,815$} km. (Runden Sie
+auf ganze km.)
+
+\noTRAINER{\mmPapier{7.6}}
+\TRAINER{[11' Schätzung]}
+\end{frage}%%

gesoBMP2024/aufg/PotenzfunktionDurchPunkte.tex

@@ -0,0 +1,27 @@
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Die Potenzfunktion $y=a\cdot{}x^n$ geht durch die beiden Punkte
+$P=(2|96)$ und $Q=\left(\frac13 \middle| \frac2{27}\right)$
+
+Berechnen Sie die Parameter $a$ und $n$ und geben Sie die
+Funktionsgleichung an:
+
+$$y=\LoesungsRaumLang{6\cdot{}x^4}$$
+
+\noTRAINER{\mmPapier{18}}%%
+%%
+\TRAINER{1 Punkt für das Einsetzen der Punkte:
+
+I: $96 = a \cdot{} 2^n$
+
+II: $\frac{2}{27} = a \cdot{} \left( \frac13 \right)^n$
+
+Ein halber Punkt für das Separieren einer Variable \zB:
+$$a = \frac{96}{2^n}$$
+Ein ganzer Punkt fürs Berechnen eines der beiden Parameter:
+$$\frac2{27} = \frac{96}{2^n} \cdot{} \frac1{3^n} = \frac{96}{6^n}$$
+$$\Longrightarrow$$
+$$\frac{48}{27} = 6^n \Longrightarrow n = \log_{6}(\frac{48}{27}) = 4$$
+0.5 Punkte für die 2. Variable
+$$a = \frac{96}{2^4} = 6$$
+}%% end TRAINER
+\end{frage}%%

gesoBMP2024/aufg/Summenzeichen.tex

@@ -0,0 +1,34 @@
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Gegeben sind die beiden folgenden Terme:
+
+$$T_1(n) := \frac16n(n+1)(2n+1)$$
+$$T_2(n) := \sum_{i=1}^{n} i^2$$
+
+Zeigen Sie, dass die beiden Terme für $n=6$ den selben Wert liefern;
+also dass gilt:
+
+$$T_1(6) = T_2(6)$$
+
+Berechnen Sie dazu zuerst das Produkt $T_1(6)$ auf der linken Seite:
+
+$$T_1(6) = \LoesungsRaum{7\cdot{}13=91}$$\
+\noTRAINER{\mmPapier{2}}
+
+Berechnen Sie nun die Summe $T_2(6)$ auf der rechten Seite.
+
+Geben Sie zunächst explizit alle Summanden der Summe an:
+$$\sum_{i=1}^6i^2=\LoesungsRaumLang{1+4+9+25+36}$$
+
+\noTRAINER{\mmPapier{2.4}}
+
+Berechnen Sie diese Summe: $T_2(6) = \LoesungsRaum{91}$
+
+Zeigen Sie an einem anderen Zahlenbeispiel $n > 3$ ($n\in\mathbb{N}$), dass die
+Identitätsgleichung ($T_1(n) = T_2(n)$) wahr ist:
+
+\TNT{1.2}{$T_1(4) = 1+4 + 9 + 16 = 30 = \frac16\cdot{}4\cdot{}(5)(9)$}
+
+\vspace{5mm}%%
+%%
+\noTRAINER{\mmPapier{4.4}}%%
+\end{frage}%

gesoBMP2024/aufg/WahrscheinlichkeitBaumWegstueck.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Das folgende Wegstück wurde in der Nacht vom Sturm arg beschädigt:
+
+\bbwCenterGraphic{12cm}{img/Bruecken.png}
+
+Jede der drei Brücken ist nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von
+80\% intakt. Mit 20\% Wahrscheinlichkeit kann jede der drei Brücken
+nicht passiert werden.
+
+Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass ich nach dem
+beschriebenen Sturm auf mind. einem der beiden angegebenen Wegen von A nach B gelangen
+kann?
+
+\vspace{12mm}
+Die Wahrscheinlichkeit von A nach B zu gelangen ist \LoesungsRaum{92.8} \% (Lösung exakt angeben).
+
+\platzFuerBerechnungen{9.6}%%
+\TRAINER{Möglichkeit: Dreistufiger Baum mit jeder Brücke. Einen Punkt
+für den dreistufigen Baum, Einen Punkt für die korrekten
+Wahrscheinlichkeiten jeder Möglichkeit. Dritter Punkt fürs addieren
+der korrekten Blätter.
+3 Punkte auch für eine analoge Lösung ohne Wahrscheinlichkeitsbaum. }%%
+\end{frage}%%

gesoBMP2024/aufg/WahrscheinlichkeitKontingenztafelBabys.tex

@@ -0,0 +1,39 @@
+\begin{frage}[3]%% Anzahl Punkte für diese Aufgabe
+Nur 2\% der Babys überleben die Entbindung nicht. Ebenso kommen 85\%
+aller Babys ohne Kaiserschnitt zur Welt. Die Überlebenschancen beim
+Kaiserschnitt liegen bei 97\%.
+
+Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Baby, das nicht per
+Kaiserschnitt zur Welt kommt, die Geburt überlebt?
+
+(Tipp: Vierfeldtafel oder Wahrscheinlichkeitsbaum;  bedingte Wahrscheinlichkeit)
+
+\vspace{12mm}
+
+Die Wahrscheinlichkeit beträgt \LoesungsRaum{} (Geben Sie das Resultat
+in \% und auf mind. 2 Dezimalen genau an.)
+
+%%$$\lx=\LoesungsRaum{98.05\%}$$
+
+\noTRAINER{\mmPapier{16}}%%
+\TRAINER{1 Pkt für die Kontingenztafel mit den gegebenen Werten
+ausgefüllt inkl. 98+2 = 100 und 85+15 =100;
+
+Weiterer Punkt für die Vervollständigung der Kontingenztafel.
+
+\begin{tabular}{c|c|c|c}
+            & Kaiserschnitt & Normal   & Total \\\hline
+Verstorben  & 0.45\%        &  1.55\%  & 2\%   \\\hline
+Überlebend  & 14.55\%       &  83.45\% & 98\%  \\\hline
+Total       & 15\%          &  85\%    & 100\% \\
+\end{tabular}
+ 
+
+(Analog zwei Punkte, falls mit Baum gelöst)
+
+3. Punkt für die korrekte Berechnung $\frac{83.45}{85.00}\approx
+98.17$
+
+Für die Lösung 83.45\% gibt es nur 2 der drei Punkte.
+}%%
+\end{frage}